V roku 1986 zmaturoval na Strednej priemyselnej škole stavebnej. V roku 1991 úspešne ukončil štúdium na Stavebnej fakulte Slovenskej vysokej školy technickej v Bratislave, odbor Pozemné stavby.

Svoju pracovnú kariéru začal ako pomocný projektant v š.p. Texing Trenčín. V rokoch 1991- 1992 pôsobil ako športový manažér Basketbalového klubu TTS Trenčín. Následne až do roku 2000 pôsobil ako vedúci ekonomického úseku spoločnosti Stival Trenčín, s.r.o. V ďalšom období pracoval ako riaditeľ spoločnosti La Familia, a.s. B. Celler zároveň zastáva post predsedu predstavenstva Trenčianskych vodární a kanalizácií, a.s., a člena dozornej rady Trenčianskej vodohospodárskej spoločnosti, a.s.
Branislav Celler je od roku 1994 aktívny vo verejnom živote Mesta Trenčín, kde pôsobí ako poslanec a člen mestskej rady. V dvoch volebných obdobiach (1994-1998 a od roku 2002) pôsobil ako predseda Finančnej a majetkovej komisie, v rokoch 1998- 2002 bol predsedom Komisie životného prostredia, dopravy a investícií. V októbri 2003 bol poslancami Mestského zastupiteľstva v Trenčíne zvolený do funkcie dlhodobo uvoľneného poslanca pre výkon funkcie, čím posilnil výkonnú moc mesta Trenčín. Dňa 16. januára 2004 bol zvolený mestským zastupiteľstvom za zástupcu primátora a zároveň sa stal štatutárom Mesta Trenčín. Na mimoriadnom zasadnutí Mestského zastupiteľstva v Trenčíne dňa 25. 3. 2004 zložil ako víťaz doplňujúcich primátorských volieb z 13. marca 2004 primátorský sľub a oficiálne sa stal primátorom Mesta Trenčín.
V politickom živote sa angažuje od roku 1994, odkedy pôsobí v Demokratickej strane. V súčasnosti je podpredsedom Miestneho združenia Demokratickej strany v Trenčíne.
Od mája 2007 je viceprezidentom Únie miest Slovenska (ÚMS).
Branislav Celler je ženatý, otec dvoch detí.