Slovenský dlhoročný reprezentant sa k vodnému slalomu dostal v roku 1988, keď sa prihlásil do školského športového náboru, kde ho spolu s ostatnými vodychtivými chlapcami testoval aj René Vajda, s ktorým spolupracuje aj dnes, pre Juraja Minčíka dodáva lode.
Prvým trénerom Juraja Minčíka bol Karol Rozmuš, ktorý určil jeho budúce smerovanie, ako slalomára v kategórii C1. Hoci jeho zverenec nebol z tohto rozhodnutia nadšený, dnes je rád, že tréner bol nekompromisný.
Prvé preteky absolvoval Juraj Minčík na jar v roku 1989 na Podbanskom. Prvé súťažné vystúpenie v ňom vyvolalo chuť ďalej pretekať a teda aj poctivo trénovať.
O sedem rokov neskôr, v roku 1996, sa slovenský reprezentant predstavil na svojej prvej olympiáde. V Atlante napokon obsadil stred štartového poľa, skončil na 15. mieste.
Druhé olympijské hry v Sydney boli úplne inými pretekmi. Z pohľadu skúseností aj očakávaní. Pred olympiádou absolvoval Juraj Minčík kvalitnú trojmesiacovú prípravu v Austrálii, kde si zvykal na vodu, prostredie, vietor i vlhkosť vzduchu. Po úspešnej kvalifikácii nasledovalo úspešné prvé kolo, slovenský slalomár obsadil druhé miesto, z ktorého bola napokon, po druhej jazde, bronzová pozícia. „Ten moment v cieli bol nádherný, nevedel som čo ma čaká, ale vedel som, že som dokázal niečo výnimočné.“... „Vtedy som sa cítil, ako keby som vyhral zlato. Bol to prekrásny moment, ja, vlajka, pocit úľavy, slzy, vietor a modrá obloha. Získal som medailu pre Slovensko, blízkych, sponzorov, ale najmä pre seba. Ten pocit mať na hrudi medailu z OH je tak silný, že robím a urobím všetko preto, aby som ho zažil ešte aspoň raz.“

Najlepšie výsledky:

2005
- Majstrovstvá Slovenska (Čunovo) - 1. miesto
2004
- Majstrovstvá Slovenska (Čunovo) - 1. miesto
2003
- Majstrovstvá Slovenska (L. Mikuláš) - 2. miesto
2002
- Majstrovstvá Slovenska (L. Mikuláš) - 2. miesto
2001
- Majstrovstvá Slovenska (Čunovo) - 1. miesto
2000
- Olympijské Hry Sydney (Austrália) - 3. miesto
- Majstrovstvá Európy (Taliansko) - 2. miesto
- Majstrovstvá Slovenska (L. Mikuláš) - 2. miesto
1999
- Majstrovstvá Slovenska (Čunovo) - 2. miesto
1998
- Majstrovstvá Európy (Česká Republika) - 1. miesto
1997
- Majstrovstvá sveta (Brazília) - 1. miesto
- Majstrovstvá Slovenska (Čunovo) - 2. miesto
1996
- OH Atlanta (USA) - 15. miesto
- Majstrovstvá Slovenska (L.Mikuláš) - 2. miesto